Fraktale - Die Faszination der verborgenen Dimension

1978 entwarfen Konstrukteure bei Boeing Aircraft in Seattle experimentelle Flugzeuge. Bizarre Flieger - mit zwei Rümpfen zum Beispiel, die aber hätten funktionieren können. Ein junger Computerwissenschafter namens Loren Carpenter sollte bildlich darstellen, wie die Flugzeuge am Himmel aussehen könnten.

Loren Carpenter, Pixar Animation Studios: „Ich wollte unbedingt einen Berg im Hintergrund haben - wie auf allen Werbefotos von Boeing. Aber es war unmöglich Berge zu generieren. Berge bestanden aus Abermillionen von kleinen Vielecken. Und wir hatten schon mit hundert genug Schwierigkeiten. Unsere Rechner waren damals langsamer als der heute in Ihrer Uhr.“

Carpenter wollte nicht einfach nur einen Berg, er wollte eine Landschaft als Hintergrund für die Flugzeuge entwerfen, aber das war mit der damaligen Animationstechnik unmöglich.

Loren Carpenter: „1978 stieß ich zufällig auf dieses Buch von Benoit Mandelbrot. Es handelte von der fraktalen Geometrie der Natur. Und ich las es, von vorn bis hinten, jedes Wort, zweimal.“

In seinem Buch schrieb Mandelbrot, dass man viele in der Natur vorkommende Formen mathematisch als Fraktale beschreiben kann. Ein Wort, das er erfunden hatte, um Formen zu definieren, die gezackt und gebrochen aussahen.
Er sagte, dass man ein Fraktal erschaffen kann, indem man eine glatt aussehende Form nimmt und sie fragmentiert, und das immer und immer wieder. Carpenter beschloss, das an seinem Computer zu versuchen.

Loren Carpenter: „Innerhalb von drei Tagen gelangen mir die ersten Bilder. Die Methode ist kinderleicht. Man beginnt mit einer aus großen Dreiecken bestehenden Landschaft. Und dann teilt man jedes Dreieck in vier Dreiecke. Und das wiederholt man immer und immer wieder.“

Die endlose Wiederholung einer Anwendung bezeichnen Mathematiker als Iteration. Sie ist einer der Schlüssel zur fraktalen Geometrie. Solche Bilder hatte bis dahin noch niemand gesehen. Eine neue Welt der Bildanimation tat sich auf. Die Computergrafikszene war begeistert, überall fingen die Leute an, Fraktale zu benutzen. Kurz darauf ging Carpenter von Boeing zu Lucas Film. - Wo er statt Berge gleich einen ganzen Planeten erschuf - für "Star Trekk II“.

Es war die erste, komplett computergenerierte Spielfilmszene.
Ermöglicht hatte das die fraktale Geometrie.
Benoit Mandelbrot, dessen Werk zu dieser Innovation inspiriert hatte, war jemand, der sich rühmte, außerhalb des etablierten Wissenschaftsbetriebs zu stehen.

Benoit Mandelbrot, Universität Yale: „Ich kann Dinge sehen, die kein anderer vermutet. Wenn ich sie ihnen dann zeige, tun sie ganz unüberrascht. Man kann sie in den Wolken sehen, in Gebirgszügen, selbst im menschlichen Körper.“

Der Schlüssel zur fraktalen Geometrie war allen entgangen, bis Mandelbrot kam. Bei der Betrachtung einer Oberfläche sieht man eine Komplexität, die ganz und gar nicht mathematisch aussieht. Was Mandelbrot sagte, war: Denk nicht an das, was du siehst, sondern an das, was nötig war, um das Sichtbare zu produzieren. Nötig dafür sind endlose Wiederholungen. Und daraus ergab sich eines der entscheidenden Charakteristika eines Fraktals: das, was Mathematiker selbstähnlichkeit nennen.

Keith Devlin, Universität Stanford: „Ob in dieser Größenordnung oder in einem kleineren Teilausschnitt - es sieht weitgehend gleich aus.“

Das Fraktal als Ganzes sieht genauso aus wie ein Teil davon, das genauso aussieht wie der nächstkleinere Teil... Die Ähnlichkeit des Musters setzt sich kontinuierlich fort.

Doch Mandelbrots Faszination für diese ungleichmäßig aussehenden Formen brachte ihn auf Kollisionskurs mit der mathematischen Tradition.

Benoit Mandelbrot: „In der gesamten Naturwissenschaft, der gesamten Mathematik waren glatte Formen alles. Was ich tat, war, die Erforschung rauer Strukturen zu ermöglichen.“

Keith Cevlin: „Wir wenden Mathematik an, um Pyramiden zu bauen, den Parthenon zu konstruieren und die Bewegung der Planeten zu studieren. Wir haben uns an die Tatsache gewöhnt, dass bestimmte Muster den Gesetzen der Mathematik gehorchen. Beispielsweise die der Architektur, von Menschen gemachte Strukturen mit perfekten geometrischen Formen. Die klassische Mathematik geht davon aus, dass alles extrem gleichmäßig ist, alles wird reduziert auf gerade Linien.“

Eignet sich klassische Mathematik also nur dafür, Dinge zu studieren, die mit klassischer Mathematik geschaffen wurden? In der Natur vorkommende Muster - Dinge, die lange vor dem Menschen da waren - wie Pflanzen, Wolken und Wettersysteme, sind mit der Mathematik nämlich nicht zu begreifen. Bis in die 1970er Jahre, als Benoit Mandelbrot seine neue Geometrie präsentierte.

Keith Devlin: „Mandelbrot sagte, ihr müsst diese in der Natur vorkommenden Muster einfach nur auf die richtige Art betrachten, dann könnt ihr auch Mathematik anwenden. Es gibt eine Ordnung hinter dem scheinbaren Chaos. Wolken und Pflanzen lassen sich mit Formeln beschreiben. Es ist nur so, dass diese Formeln anders sind und euch eine andere Geometrie bieten."

Man schrieb das Jahr 1958. Der amerikanische Firmengigant war ein Pionier auf dem Gebiet einer Technik, die schon bald unser aller Leben revolutionieren sollte: dem Computer. IBM suchte kreative Denker, Nonkonformisten, sogar Rebellen. Menschen wie Benoit Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot: „Eigentlich war es ein Sammelbecken für eine bestimmte Art von Querdenkern. Wir hatten nie auch nur das leiseste Gefühl, zum Establishment zu gehören.“

Mandelbrots Kollegen erzählten dem jungen Mathematiker von einem Problem, das dem Unternehmen großes Kopfzerbrechen bereitete.

IBM Ingenieure übertrugen Computerdaten via Telefonleitung, doch manchmal kamen Daten nicht an.

Benoit Mandelbrot: „Ihnen war aufgefallen, dass die Leitungen von Zeit zu Zeit extrem rauschten. Es gab erhebliche Übertragungsfehler. Das war tatsächlich ein Riesenproblem.“

Mandelbrot stellte die Nebengeräusche grafisch dar, und was er sah, überraschte ihn. Für jede Zeitspanne sah das Diagramm immer gleich aus. Ein Tag, eine Stunde, eine Sekunde - es sah stets gleich aus.

Benoit Mandelbrot: „Es war extrem selbstähnlich.“

Mandelbrot war verblüfft. Das seltsame Muster erinnerte ihn an etwas, das ihn als junger Mann fasziniert hatte. Ein mathematisches Rätsel, das nahezu hundert Jahre alt war. Das Rätsel der sogenannten Monsterkurven.

Keith Devlin: „Die Geschichte beginnt eigentlich Ende des 19. Jahrhunderts. Mathematiker hatten formal etwas beschrieben, was eine Kurve sein musste. Doch Teil dessen waren Elemente, die so merkwürdig waren, dass man sich nicht vorstellen konnte, wie man sie zeichnen sollte. Sie wurden einfach als "Monster" betrachtet, bzw. als Dinge jenseits des Vorstellungsvermögens. Es waren keine Linien, auch keine Kreise. Sie waren sehr seltsam.“

Der deutsche Mathematiker Georg Cantor konstruierte 1883 das erste mathematische Monster mit seiner Cantormenge.

Ron Eglash, Rensselaer Polytechnik Institut: „Er nahm eine gerade Linie und sagte, ich teile diese Linie in drei Teile, und das mittlere Drittel entferne ich. Von den zwei Linien, die übrig bleiben, entferne ich jeweils wieder das mittlere Drittel; und das wiederhole ich wieder und wieder. Die meisten Leute würden denken, wenn ich alles entferne, bleibt am Ende nichts übrig. Dem ist nicht so. Am Ende sind unendlich viele Punkte übrig.“

An jeder beliebigen Stelle der Cantor-Menge findet man immer dasselbe Muster; ähnlich wie bei dem Geräuschmuster, das Mandelbrot bei IBM gesehen hatte.

Eine andere seltsame Form wurde von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch entdeckt.

Keith Devlin: „Was Koch sagte, war: man beginnt mit einem gleichseitigen Dreieck, und an jeder Seite..."

Loren Carpenter: „...entferne ich ein Stück und ersetze es durch zwei Stücke, die insgesamt länger sind als das Originalstück. Und das wiederhole ich...“

Keith Devlin: „...immer und immer wieder...“

Ron Eglash: „Die Form bleibt, doch jede Linie hat jetzt diesen kleinen Buckel...“

Loren Carpenter: „...und bei jeder Teilung wird die Gesamtlinie immer länger.“

Ron Eglash: „Bei jeder Iteration kommt ein weiteres Dreieck hinzu.

Keith Devlin: „Wenn man diesen Schritt des Hinzufügens unendlich oft wiederholt, erhält man am Ende etwas, das unendlich lang ist.“

Die Koch-Kurve war ein Paradoxon. Für das Auge erscheint die Kurve absolut endlich. Aber mathematisch gesehen ist sie unendlich, was bedeutet, sie ist mit dem Maßband nicht messbar.

Ron Eglash: „Damals bezeichnete man das als pathologische Kurve, weil es nach der euklidischen Geometrie keinen Sinn ergab.“

Aber die Koch-Kurve bot eine Lösung für ein schwieriges Vermessungsproblem. In den 1940ern war dem britischen Wissenschafter Lewis Richardson aufgefallen, dass die Längenbestimmungen einer Küstenlinie stark variieren können.

Loren Carpenter: „Das hängt von der Zollstock-Länge und Ihrer Geduld ab. Würde man die britische Küste mit einem Zollstock von einer Meile Länge vermessen, ergäbe das soundso viele Meilen. Aber je kürzer der Zollstock, desto länger ist die Gesamtlänge. Weil man immer kleinere Einbuchtungen abdeckt.“

Mandelbrot erkannte, dass die immer feiner werdenden Einbuchtungen der Koch-Kurve genau das waren, was man brauchte, um Küstenlinien darzustellen.

Keith Devlin: „Er schrieb einen berühmten Artikel "Wie lang ist Britanniens Küste?"

Eine Küstenlinie, so Mandelbrot, ist geometrisch gesehen ein fraktal. Und obwohl ihm klar war, dass er ihre Länge nicht messen konnte, vermutete er, dass er etwas anderes messen konnte: ihre Rauheit. Das erforderte ein Überdenken eines der fundamentalsten Konzepte der Mathematik: der Dimension.

Jennifer Quellette, Wissenschaftsjournalistin: „Was wir unter normaler Geometrie verstehen, ist: eine Linie ist eindimensional, eine Fläche ist zweidimensional...“

Und dreidimensional ist ein Würfel. Aber konnte etwas eine Dimension haben, die irgendwo dazwischen liegt, sagen wir zwischen zwei- und dreidimensional?

Mandelbrot sagte, ja. Fraktale haben sie. Und je rauer sie sind, desto größer ist ihre fraktale Dimension.

Keith Devlin: „Diese ganzen technischen Termini, wie fraktale Dimension und Selbstähnlichkeit, sind technische Details der Mathematik. Aber die fraktale Geometrie gibt uns die Möglichkeit, auf extrem präzise Weise die Welt, in der wir leben, zu betrachten, insbesondere die belebte Natur.“

Mandelbrots Begeisterung für die neue Technologie half ihm bei der Umsetzung seines Denkansatzes. Computer ermöglichten Mandelbrot die Iterationen - die sich unendlich wiederholenden Rechenzyklen, die für die mathematischen Monster erforderlich waren.

Benoit Mandelbrot: „Der Computer war unerlässlich. Ohne ihn wäre es extrem aufwändig gewesen.“

Mandelbrot beschloss, sich mit einem weiteren Monster zu beschäftigen, einem Problem, das während des Ersten Weltkrieges von einem jungen französischen Mathematiker namens Gaston Julia vorgestellt worden war.

Keith Devlin: Gaston Julia beschäftigte sich damit, was passiert, wenn man eine simple Gleichung nimmt und durch Rückkopplung iteriert. Also man setzt eine Zahl in eine Formel ein und erhält als Ergebnis eine neue Zahl. Nun geht man zurück und setzt diese neue Zahl in die Abbildung ein. Und das wiederholt man wieder und wieder. Und die Frage ist, was passiert nach unzähligen Iterationen?“

Die Zahlenreihe, die man so erhält, bezeichnet man als Menge: die Julia-Menge. Doch wie ließ sich die komplette Julia-Menge erfassen?

Ralph Abraham: „Manuell war es kaum machbar, sie zu berechnen und aufs Papier zu bringen.“

Keith Devlin: „Man müsste hunderte, tausende, Millionen Male rückkoppeln. Die Entwicklung dieser neuen Mathematik musste warten, bis schnelle Computer erfunden waren.“

Bei IBM tat Mandelbrot etwas, was Gaston Julia nicht möglich gewesen war. Er benutzte einen Computer und ließ die Gleichungen millionenmal laufen. Dann verwandelte er die Zahlen aus seinen Julia-Mengen in Punkte einer grafischen Darstellung.

Benoit Mandelbrot: „Mein erster Schritt war, Bilder von Julia-Mengen zu zeichnen; und zwar hunderte von Bildern.“

Diese Bilder brachten Mandelbrot den Durchbruch. 1980 erschuf er - wiederum durch Wiederholung - eine eigene Menge, die alle Julia-Mengen in einem einzigen Bild kombinierten. Als Computergrafik dargestellt war sie quasi eine "Landkarte" für alle Julia-Mengen und erlangte sehr schnell Berühmtheit als Symbol für fraktale Geometrie: die Mandelbrot-Menge.

Jennifer Quellette: „Sie überschneiden sich in bestimmten Bereichen...“

Loren Carpenter: „Und haben so kleine Schnörkel.“

Dana Cartwright, Designer Software LLC: „Ein schwarzes, käferartiges Ding,...“

Richard Taylor, Universität Oregon: „...das über den Boden krabbelt.“

Ary Goldberger, Harvard Medical School: „Seepferdchen.“

Ralph Abraham, Universität California, Santa Cruz: „Drachen.“

Richard Taylor: „Hat Ähnlichkeit mit meinen Haaren.“

Mit diesem rätselhaften Bild lieferte Mandelbrot eine Kampfansage an die etablierte Sichtweise der Grenzen der Mathematik.

Ralph Abraham: „Auf einmal konnten die Menschen Formen sehen, die schon immer existiert hatten, aber bis dato unsichtbar waren. Wenn man das Bild vergrößert, wiederholt es sich, man sieht Selbstähnlichkeit. Man zoomt ran und plötzlich scheint es so, als wäre man genau dort, wo man vorher war, aber das ist man nicht. Es ist nur so, dass die Struktur sich ewig wiederholt. Und diese Gleichheit kann man grafisch darstellen.“

Das fraktale Konstruktionsprinzip hat auch die Welt der Special Effekts revolutioniert.

Dan Piponi, Industrial Light and Magic: „Das ist eine Schlüsselszene aus Star Wars III, die beiden Protagonisten kämpfen auf diesem gigantischen mechanischen Arm. Und Lava ergießt sich über den Arm. Mein Ausgangspunkt ist hier das dreidimensionale Modell, und ich schieße einfach einen Strahl Lava in die Luft. Das sieht ziemlich langweilig aus, visuell absolut uninteressant.
Aber jetzt füge ich den fraktalen Strudel hinzu. Fraktal wird es, wenn wir dasselbe Strudelmuster nehmen, es verkleinern und wieder einsetzen.
Es nehmen, verkleinern, wieder einsetzen, und das immer wieder. Hier geht es eigentlich nur noch darum, immer mehr Layer übereinanderzulegen. Mit derselben Technik habe ich diese zusätzlichen Lavaströme produziert. Und hier auch die Glut. Und aus all diesen Layern entsteht das endgültige zusammengesetzte Bild.
Die Protagonisten mit Lava im Vordergrund, die Lava im Hintergrund, Glut, Funken, Dampf, Rauch.“

Auch in Natur und Medizin finden sich plötzlich mathematische Strukturen. Ein eindrucksvolles Beispiel: der Herzrhythmus. Ein Thema, mit dem sich der Bostoner Kardiologe Ary Goldberger sein ganzes Berufsleben lang beschäftigt hat.

Ary Goldberger: „Im Sinne der Newtonschen Tradition ist der menschliche Körper eine Maschine und der Herzschlag ist sein Taktgeber. Galileo soll anhand seines Pulses das Schwingen einer Pendelbewegung gemessen haben. Das alles passt zur Vorstellung, dass ein normaler Herzschlag wie ein Metronom ist.“

Aber als Goldberger und seine Kollegen die Daten tausender Personen analysierten, stellten sie fest, dass die alte Theorie falsch war.

Madalena Damasio Costa, Harvard Medical School: „Das ist die Zeitreihe der Herzfrequenz einer gesunden Testperson. Und wie Sie sehen können, ist der Herzschlag über die Zeit nicht konstant. Er schwankt sehr stark... zum Beispiel in diesem Fall zwischen 60 und 120 Schlägen pro Minute.“

Das Muster kam Goldberger bekannt vor - der zufällig Mandelbrots Buch gelesen hatte.

Ary Goldberger: „Wenn man die Herzfrequenz-Intervalle ausdruckt, sieht man etwas, das große Ähnlichkeit mit den gezackten Umrissen der in Mandelbrots Buch abgebildeten Gebirgszüge hat. Vergrößert man sie, sieht man, dass auf diesen Zacken weiteren Zacken sitzen. Der gesunde Herzschlag hat also eine fraktale Architektur.
Die Leute sagten, das ist doch keine Kardiologie.
Aber wie sich herausstellte, ist es sehr wohl Kardiologie."

Ary Goldberger entdeckte, dass der gesunde Herzschlag ein charakteristisches fraktales Muster hat, eine Signatur, die eines Tages Kardiologen helfen könnte, Herzprobleme früher zu entdecken.

In der Provinz Guanacaste im Nordwesten von Costa Rica arbeitet der Biologe Brian Enquist mit seinem Team.
Die Regierung hat dort über 1200 Quadratkilometer Land zum Naturschutzgebiet erklärt.

Hier wollen die Forscher wissen, ob man mit fraktaler Mathematik auch den Regenwald untersuchen kann. Ob man anhand eines einzelnen Baumes prognostizieren kann, wie ein ganzer Wald funktioniert. Regenwälder spielen eine entscheidende Rolle für das globale Klimasystem, weil sie Kohlendioxyd aus der Luft filtern.

Brian Enquist, Universität Arizona: „Der Wald atmet regelrecht. Wenn wir erfassen können, wie viel Kohlendioxid die Bäume dieses Waldes insgesamt aufnehmen, können wir errechnen, welchen Anteil dieser Wald an der Regulation der Gesamtmenge an Co2 in unserer Luft hat.“

Enquist und seine Kollegen vermessen Länge und Durchmesser der Äste, um ihre fraktale Struktur zu bestimmen. Außerdem messen sie den Co2-Gehalt eines einzelnen Blattes, um hochzurechnen, wie viel der ganze Baum
absorbieren kann.

Christina Lamanna, Universität Arizona: „Wenn wir wissen, wie viel Co2 dieses Blatt aufnehmen kann, können wir hoffentlich anhand der fraktalen Verzweigungsregel bestimmen, wie viel der gesamte Baum aufnehmen kann.“

Der nächste Schritt ist, sich dem gesamten Wald zuzuwenden.

Brian Enquist: „Wir erfassen den Wald. Wir messen die Durchmesser aller Stämme - vom größten bis zum kleinsten Baum. Auf diese Weise können wir dann ein Muster der Größenverteilung innerhalb des Waldes erstellen.“

Auch wenn der Wald zufällig und chaotisch erscheinen mag, glaubt das Team, dass er eine Struktur besitzt. Eine, die erstaunlicherweise ähnlich ist mit der fraktalen Struktur des Baumes, den sie gerade gefällt haben.

James Brown, Universität New Mexico: „Das Faszinierende ist, dass die Größenverteilung der einzelnen Bäume im Wald exakt der Größenverteilung der einzelnen Äste eines Baumes zu entsprechen scheint.“

Bis jetzt scheinen die Messungen vor Ort die Theorie der Wissenschafter zu untermauern, dass man mit Hilfe eines einzelnen Baumes bestimmen kann, inwieweit Regenwälder daran beteiligt sind, den Co2-Gehalt der Luft zu
regulieren.

Seit Generationen glaubten Wissenschafter, dass sich die Wildheit der Natur nicht mittels Mathematik definieren lässt. Aber fraktale Geometrie führt zu einem gänzlich neuen Verständnis und enthüllt eine zugrunde liegende Ordnung, die von simplen mathematischen Regeln bestimmt wird.